CURSO DE DOCTORADO
La desigualdad riemanniana de Penrose y el flujo inverso de la curvatura media
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  • Sesión XXIV: Viernes 13 de abril de 2018, 10.00 a 11.00. Aula A25.
  • Sesión XXIII: Miércoles 11 de abril de 2018, 12.00 a 13.00. Aula A25.
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Motivación

En 1973, Penrose [4] propuso la conocida desigualdad geométrica, para probar el punto de vista de la clase que lideraba la teoría de agujeros negros. Dicha desigualdad establecía una inesperada relación entre elementos geométricos aparentemente sin relación dentro de una clase de variedades lorentzianas (y riemannianas).

En pocas palabras, la desigualdad dice que la masa ADM del espacio-tiempo involucrado, calculada a partir de ciertas integrales que involucran a la curvatura de superficies asintóticas, deberı́a de ser mayor o igual que la masa del agujero negro en dicho espacio-tiempo, calculada a partir de su área. para una clase particular de espacio-tiempos, esta desigualdad se reduce a la desigualdad riemanniana de Penrose; una desigualdad sobre variedades de Riemann clásicas que afirma:

La masa ADM, m, y el área, A, de la superficia mínima exterior en una 3-variedad asintóticamente llana y de curvatura escalar no-negativa, satisfacen la siguiente desigualdad:

\(m\geq \sqrt{\frac{A}{16\pi}}\)

y además se la la igualdad si, y sólo si, la 3-variedad es isométrica a la hoja espacial canónica del espacio-tiempo de Schwarzschild.

La demostración de la desigualdad de Riemann-Penrose por parte de Huisken e Ilmanen al final del pasado siglo (véase [2]) fue un avance importante tanto para la Teorı́a de Agujeros Negros como para la Geometrı́a Diferencial. Para la primera, tal desigualdad puede ser vista como el mejor test de su consistencia fı́sica, debido a la dificultad en observar evidencias directas de los agujeros negros. Para la Geometrı́a Diferencial, la demostración puso de manifiesto cuán poderoso y versátil es el llamado flujo inverso de la curvatura media, incluyendo la formulación débil de las soluciones, que permite a las superficies del flujo ”saltar” más allá de las singularidades. De hecho, este flujo fue usado, poco después, por Bray y Neves para calcular el invariante de Yamabe del espacio proyectivo real de dimensión 3 (véase[1]).

El propósito de este curso es el de estudiar en detalle la demostración de Huisken e Ilmanen, proporcionando previamente una perspectiva de las motivaciones fı́sicas y de las herramientas acerca de flujos geométricos que son necesarias para su comprensión.

Referencias

[1] H. Bray, A. Neves, Classification of prime 3-manifolds with Yamabe invariant greater than RP3 . Annals of Mathematics 159 (2004), 407–424.
[2] G. Huisken, T. Ilmanen, The Inverse mean curvature flow and the Riemannian Penrose inequality J. Diff. Geom. 59 (2001), 353–437.
[3] M. Mars, Present status of the Penrose inequality, Classical Quantum Gravity 26 (2009), no. 19, 193001.
[4] R. Penrose, Naked singularities, Ann. New York Acad. Sci., 224 (1973) 125–134.

Estructura

Profesorado

Francisco Martín Serrano y Miguel Sánchez Caja

Duración

30 horas a lo largo de 20 semanas, en sesiones de 1 hora y media a la semana.

Lugar

Lugar: Seminario 1, primera planta, IEMATH.

Contenidos

  1. El marco físico del problema
  2. Formulación débil de las soluciones del flujo inverso por la curvatura media.
  3. La fórmula de monotonía de Geroch
  4. Soluciones débiles de Huisken-Ilmanen
  5. El ejemplo de Schwarzschild y rigidez

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